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Accueil > Actualité & Articles > Articles > L’expérimentation numérique dans la science

10. Itérations de polynômes complexes : Benoît Mandelbrot, John Hubbard & Adrien Douady

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Benoît Mandelbrot

Nous évoquerons pour terminer la dynamique complexe, un domaine défriché par les mathématiciens français Pierre Fatou et Gaston Julia au début du 20ème siècle, mais qui doit son réveil, après environ une soixante d’années d’hibernation, à l’expérimentation numérique. En effet, la visualisation des ensembles de Julia a été une révélation qui a permis aux mathématiciens de se poser les bonnes questions.

Dans la préface du livre The Mandelbrot set, theme and variations, le mathématicien John Hubbard explique comment l’enseignement en DEUG, en 1976-77, à l’université d’Orsay, l’a amené à faire des expériences numériques. En cherchant comment utiliser un ordinateur dans le cadre de son cours d’analyse, il choisit d’illustrer la méthode de Newton. Comme son domaine de recherche est l’analyse complexe, il l’applique à un polynôme complexe, par exemple $z^3-1$, pour visualiser les bassins d’attraction des racines. Il se fait aider par Michel Fiollet pour écrire des programmes sur une mini-6. Stimulé par le mathématicien Dennis Sullivan qui se trouve à l’IHES (Bures-sur-Yvette), il explore et visualise divers « ensembles de Julia » : étant donné deux nombres complexes $z_0$ et $c$, on définit la suite $(z_n)$ par récurrence en posant $z_{n+1}=z_n^2+c $ . Pour une valeur donnée de c, l’ensemble de Julia correspondant est la frontière de l’ensemble des valeurs initiales $z_0$ pour lesquelles la suite est bornée.

Il semble que Hubbard ait montré ses images durant une conférence à laquelle assiste Benoît Mandelbrot, en 1997, aux USA. Ce dernier lui dit avoir souvent pensé à ces ensembles sans jamais avoir cherché à en obtenir des images. Hubbard mentionne qu’en 1981-82, l’arrivée de l’Apple II va énormément compter pour lui et lui permet d’obtenir de bien meilleures images qu’auparavant.

Alors que Mandelbrot travail chez IBM et a accès aux meilleurs ordinateurs de l’époque, c’est lors d’un séjour à Harvard, qu’il obtient pour la première fois en mars 1980 une visualisation grossière au moyen d’un ordinateur Vax de l’ensemble qui portera son nom.

Il est obtenu en traçant l’ensemble de toutes les valeurs de $c$ pour lesquelles la suite définie ci-dessus est bornée, en prenant $z_0=0$ . Le programmeur est Peter Moldave. Il publie un article sur ses résultats la même année.

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L’étude de l’ensemble de Mandelbrot commence réellement en 1984 avec les travaux de Douady et Hubbard, qui établissent ses propriétés fondamentales et baptisent l’ensemble en l’honneur de Mandelbrot. Hubbard utilise beaucoup d’expériences numériques pour guider leur intuition.
En 1985, les mathématiciens Heinz-Otto Peitgen et Peter Richter popularisent l’ensemble de Mandelbrot par des images de qualité et qui frappent les esprits.

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