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Accueil > Actualité & Articles > Articles > L’expérimentation numérique dans la science

2. John von Neumann & Stanislas Ulam

John von Neumann et Stanislas Ulam sont les premiers à avoir compris le potentiel des ordinateurs en mathématique et en physique :

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Stanislas Ulam

« Presque immédiatement après la guerre, John von Neumann et moi-même avons commencé à discuter la possibilité d’utiliser les ordinateurs de façon heuristique, pour essayer d’obtenir quelques lumières sur des questions de mathématiques pures. En produisant des exemples et en observant les propriétés de certains objets mathématiques, on peut espérer obtenir des éléments de réponse quant au comportement des lois générales. Lors des années qui ont suivi j’ai suggéré, et dans certains cas résolu, une variété de problèmes de mathématiques pures en expérimentant ou même tout simplement en observant » (sous entendu “au moyen de l’ordinateur”)


(Extrait de son autobiographie : Adventures of a Mathematician, 2d ed., Berkeley, 1991)

Il propose donc d’utiliser les ordinateurs non pas comme un simple « moulin » à calculs mais comme un outil d’expérimentation permettant de « voir » les solutions des équations que l’on étudie. La vision d’Ulam a été motivée par la physique, plus précisément l’étude numérique de modèles simplifiés de diffusion des neutrons (liés à la bombe atomique). Notons que les premiers calculs pour une réaction en chaîne sont réalisés par Nicholas Metropolis en 1947, sur l’ENIAC et qu’il s’agit des prémisses de la méthode de Monte-Carlo. (La méthode de Monte-Carlo naît officiellement dans un article de Metropolis et Ulam en 1949.) Nous verrons un autre exemple issu de la physique plus bas (mécanique statistique).

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John von Neumann (1952)

Dans un texte écrit en 1947 et intitulé « The Mathematician », von Neumann se demande si les mathématiques sont une science empirique. Il tente de répondre à cette question par une confrontation avec les démarches de la physique théorique. Pour lui, il y a une base empirique aux mathématiques, occultée par les développements ultérieurs, mais « quand des tendances à devenir baroque se font jour, le signal de danger doit être émis » et le seule remède semble être, selon lui, la ré-injection d’idées plus ou moins directement empiriques. Cette réflexion, qui fait le bilan de ses travaux depuis 1922, explique en partie le développement du calcul numérique et des mathématiques expérimentales. Dans cet esprit, Ulam cherche à développer une pratique des expériences numériques, d’abord dans le domaine de la combinatoire et de la théorie des nombres, puis dans domaine du « non linéaire » où il explore avec ses collaborateurs les comportements de diverses transformations non linéaires. Un des modèles est celui de l’évolution d’une grande population dans laquelle se produisent des accouplements aléatoires et des mutations. Il ne s’agit pas d’équations différentielles mais d’itérations d’une transformation non linéaire. Ces analyses sont destinées à ouvrir des perspectives, à poser des problèmes plutôt qu’à en résoudre. Notons que l’ordinateur est branché à un système permettant la visualisation des itérations. Il s’agit ni plus ni moins d’une nouvelle façon d’étudier les itérations non linéaires qui nous paraît aujourd’hui évidente…

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