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Naissance de « Kurt Gödel » logicien et mathématicien autrichien

28 avril 1906 - 14 janvier 1978

Voir en ligne : https://fr.wikipedia.org/wiki/Kurt_...
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Kurt Gödel, né le 28 avril 1906 à Brünn et mort le 14 janvier 1978 à Princeton (New Jersey), est un logicien et mathématicien autrichien naturalisé américain.

Son résultat le plus connu, le théorème d’incomplétude de Gödel, affirme que n’importe quel système logique suffisamment puissant pour décrire l’arithmétique des entiers admet des propositions sur les nombres entiers ne pouvant être ni infirmées ni confirmées à partir des axiomes de la théorie. Ces propositions sont qualifiées d’indécidables.

Gödel a également démontré la complétude du calcul des prédicats du premier ordre. Il a aussi démontré la cohérence relative de l’hypothèse du continu, montrant qu’elle ne peut pas être réfutée à partir des axiomes admis de la théorie des ensembles, en admettant que ces axiomes soient cohérents. Il est aussi à l’origine de la théorie des fonctions récursives.

Il publie ses résultats les plus importants en 1931 à l’âge de 25 ans, alors qu’il travaille encore pour l’université de Vienne (Autriche).

Un prix Gödel, qui récompense les meilleurs travaux en informatique théorique, est fondé en son honneur en 1992.


Les théorèmes d’incomplétude de Gödel sont deux théorèmes célèbres de logique mathématique, publiés par Kurt Gödel en 1931 dans son article Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme (en) (« Sur les propositions formellement indécidables des Principia Mathematica et des systèmes apparentés »). Ils ont marqué un tournant dans l’histoire de la logique en apportant une réponse négative à la question de la démonstration de la cohérence des mathématiques posée plus de 20 ans auparavant par le programme de Hilbert.

Le premier théorème d’incomplétude établit qu’une théorie suffisante pour y démontrer les théorèmes de base de l’arithmétique est nécessairement incomplète, au sens où il existe des énoncés qui n’y sont ni démontrables, ni réfutables (un énoncé est démontrable si on peut le déduire des axiomes de la théorie, il est réfutable si on peut déduire sa négation). On parle alors d’énoncés indécidables dans la théorie.

Le second théorème d’incomplétude est à la fois un corollaire et une formalisation d’une partie de la preuve du premier. Il traite le problème des preuves de cohérence d’une théorie : une théorie est cohérente s’il existe des énoncés qui n’y sont pas démontrables (ou, ce qui revient au même, si on ne peut y démontrer A et non A) ; par exemple on exprime souvent la cohérence de l’arithmétique par le fait que l’énoncé 0 = 1 n’y est pas démontrable (sachant que bien entendu 0 ≠ 1 l’est). Sous des hypothèses à peine plus fortes que celles du premier théorème on peut construire un énoncé exprimant la cohérence d’une théorie dans le langage de celle-ci. Le second théorème affirme alors que si la théorie est cohérente cet énoncé ne peut pas en être conséquence, ce que l’on peut résumer par : « une théorie cohérente ne démontre pas sa propre cohérence ».


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