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1. Introduction

L’émergence des ordinateurs, accélérée par la seconde Guerre mondiale, a donné une nouvelle dimension aux « mathématiques expérimentales » c-à-d l’exploration des propriétés d’objets mathématiques par des calculs.

Cette approche qui a toujours existé, avait vu son importance diminuer progressivement à partir du XVIIe siècle en raison de la place grandissante de l’abstraction.

Au-delà de l’extension stupéfiante du domaine des calculs possibles, de leur vitesse et de leur précision, les ordinateurs ont fourni un outil puissant : la visualisation, qui permet une exploration et la découverte de phénomènes qui passeraient inaperçus autrement.

Les sciences physiques ont tiré un bénéfice des ordinateurs encore plus grand et plus profond que les mathématiques : les ordinateurs permettent de faire des expériences numériques à partir des équations gouvernant les phénomènes que l’on désire étudier, alors que les expériences classiques peuvent être trop compliquées, trop coûteuses, voire impossibles à réaliser (comme en astrophysique). Des expériences -dans le monde « réel »- ont même été suscitées par des expériences numériques (nous en verrons des exemples).

Le terme anglo-saxon pour qualifier cette approche est « simulation », qui est également utilisé par les francophones. Mais le mot « expérimentation » correspond beaucoup mieux à ce qu’est effectivement l’utilisation du numérique dans ces sciences.

L’objet de ce livret est de montrer comment l’expérimentation numérique -devenue interactive au fil du temps- a permis des découvertes impossibles sans elle, ainsi que le renouvellement, voire la renaissance, de certains domaines des mathématiques et de la physique. Au-delà du monde de la recherche scientifique, les ordinateurs ont évidemment influencé la didactique des mathématiques et de la physique (par exemple la théorie qualitative des équations différentielles).

Les grands inspirateurs de l’utilisation de l’expérimentation numérique sont Stanislas Ulam, John von Neumann et Alan Turing. Partant de ces figures incontournables, nous évoquerons plusieurs exemples, plus ou moins célèbres, qui illustrent cette démarche.

Sommaire

 1. Introduction
 2. John von Neumann & Stanislas Ulam
 3. Enrico Fermi, John Pasta, Stanislas Ulam & Mary Tsingou
 4. La morphogenèse selon Alan Turing
 5. Bryan Birch & Peter Swinnerton-Dyer & les points rationnels des courbes elliptiques
 6. Edward Lorenz : de la météo aux attracteurs étranges
 7. Martin Kruskal & Norman Zabusky découvrent numériquement les solitons
 8. Michel Hénon : de l’astrophysique aux attracteurs étranges
 9. La cascade de doublements de période : Mitchell Feigenbaum, Pierre Coullet & Charles Tresser
 10. Itérations de polynômes complexes : Benoît Mandelbrot, John Hubbard & Adrien Douady
 Quelques références bibliographiques
 Références « historiques »
 Carte du monde des expériences numériques citées