5. Bryan Birch & Peter Swinnerton-Dyer & les points rationnels des courbes elliptiques

Cet exemple illustre l’apport de l’expérimentation numérique dans un domaine des mathématiques « pures » : la géométrie algébrique.

Ordinateur EDSAC

Les mathématiciens ont toujours été fascinés par les équations algébriques dont on cherche des solutions qui sont des nombres entiers ou des nombres rationnels. C’est par exemple Euclide qui le premier a décrit toutes les solutions en nombres entiers de l’équation $x^2+y^2=z^2$. En divisant cette équation par $z^2$, cela revient à chercher les points de coordonnées rationnelles sur un cercle. La conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer est reliée au nombre de points à coordonnées rationnelles d’un autre type de courbe : les courbes elliptiques. Elle est beaucoup trop technique pour être décrite ici.
Du point de vue qui nous intéresse, le fait remarquable est qu’elle a été émise au début des années 1960, par Birch et Swinnerton, grâce à des expériences numériques sur l’EDSAC (descendant de l’ENIAC) au laboratoire d’informatique de l’université de Cambridge. C’est l’un des sept problèmes du prix du millénaire proposés par le Clay Mathematical Institute en 2000 et il est à ce jour résolu que dans des cas particuliers.