Donnant une démonstration du théorème dit de Riemann-Roch, il a apporté une contribution importante à l’analyse et à la géométrie différentielle.
Le théorème de Riemann-Roch : originellement développé dans la théorie des fonctions de la variable, il porte sur les surfaces de Riemann dans un contexte purement analytique. La démonstration fut mise en question par Weierstrass, qui trouva un contre-exemple dans un des outils de la démonstration de Riemann nommé le principe de Dirichlet. En 1882, Richard Dedekind et Heinrich Weber ont donné une preuve entièrement nouvelle, fondant la théorie des idéaux. Depuis ce temps, Hilbert a démontré rigoureusement le principe de Dirichlet pour une classe spécifique de fonctions, justifiant la preuve donnée par Riemann.
