En 1924, il intègre l’École normale supérieure à l’âge de 18 ans. Il est reçu cacique à l’agrégation en 1927. Il obtient une bourse de l’Université de Princeton, puis une de la fondation Rockefeller. Il soutient sa thèse intitulée Recherche sur quelques problèmes relatifs aux polynômes et aux fonctions bornées en 1931.
En décembre 1934, il participe à la fondation du groupe Bourbaki, dont il sera un des moteurs pendant de nombreuses années.
Il fut maître de conférences à Nancy en 1937, puis à Clermont-Ferrand durant l’occupation, où était repliée l’université de Strasbourg. Il fut ensuite professeur à l’université de São Paulo au Brésil de 1946 à 1948, puis de 1948 à 1952 à Nancy, où il supervisa avec Laurent Schwartz les premières recherches d’Alexandre Grothendieck, en analyse fonctionnelle. En 1952 il devint professeur à l’université du Michigan aux États-Unis, pour revenir en France en 1959 à l’IHÉS. Il finira sa carrière à l’université de Nice où il obtient un poste en 1964. Il sera également le doyen de la Faculté des Sciences.
Recevant le grand prix de l’Académie des sciences en 1944, il en deviendra membre en 1968.
En algèbre, on lui doit des travaux sur la théorie de Galois des anneaux d’Artin, et l’algébrisation des travaux de Sophus Lie.
En topologie, il mit au point les notions de partition d’unité et d’espace paracompact. Il travailla également sur les espaces vectoriels topologiques.
