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En écologie, un écosystème est constitué de différentes populations qui interagissent entre elles.
Une population est un ensemble d’individus d’une même espèce qui occupent simultanément un même milieu.
Ordinairement, les individus d’une population se disputent les mêmes ressources, tout comme les individus appartenant à des populations différentes (compétition). Certaines populations vivent au dépens d’autres (parasitisme). Certaines populations s’aident mutuellement (mutualisme, voire symbiose).
Tout cela s’inscrit dans le phénomène général de la lutte pour la vie, pour reprendre l’expression de Darwin.
Le caractère quantitatif de ce phénomène se manifeste dans les variations des nombres d’individus d’un écosystème.

Une branche de l’écologie mathématique, appelée dynamique des populations, se propose d’étudier théoriquement ces variations à partir de modèles simplifiés. Le but est de forger un cadre de pensée permettant de sonder et d’explorer la luxuriance du réel.
Les premiers modèles datent des années 1920 et sont basés sur des équations différentielles.
A chaque population correspond une équation ; la façon dont les équations des différentes populations sont couplées dépend de leurs interactions. De tels modèles sont encore étudiés malgré leurs nombreuses faiblesses. En particulier, ils ne permettent de modéliser l’interaction de populations qu’« en moyenne » sur l’espace occupé et ne sont pertinents que pour de grandes populations. L’étude de petites populations, et en particulier des phénomènes d’extinction, requiert des modèles probabilistes dont nous ne parlerons pas ici.

Notre but ici est une petite initiation à ces modèles différentiels en se concentrant sur l’interaction de type « proie-prédateur » (ou « ressource-consommateur »). Le point de départ est le modèle historique de Lotka et Volterra.

Nous introduirons ensuite un modèle dû à Rosenzweig et MacArthur où la prédation est modélisée de façon plus réaliste. Dans ce modèle,
il est possible d’avoir un « cycle limite », c-à-d des oscillations périodiques des populations au cours du temps qui sont robustes.

Nous plaçons succintement ces modèles dans leur contexte historique et offrons au lecteur de les expérimenter numériquement à l’aide de simulations embarquées.