Avant-propos

L’objet de cet article est de présenter le modèle emblématique de la théorie de la « criticalité auto-organisée » dont le but est de rendre compte du comportement de nombreux systèmes complexes.

Ce modèle, inspiré des tas de sable, a été proposé en 1987 par les physiciens Bak, Tang et Wiesenfeld. Nous verrons le contraste saisissant entre le caractère élémentaire de ses règles d’évolution et les structures que celles-ci peuvent engendrer.
Nous proposons au lecteur d’expérimenter lui-même certains aspects de ce modèle grâce à une simulation numérique interactive.
D’un point de vue mathématique, ce modèle possède de fascinantes propriétés algébriques et probabilistes largement incomprises à ce jour ; nous conclurons cet article par quelques problèmes ouverts.

Prélude : le tas de sable de Per Bak

En 1987, le physicien danois Per Bak propose une approche originale pour essayer de comprendre toute une classe de systèmes dont l’archétype est la dynamique des tas de sable.
Imaginons une expérience qui consiste à ajouter régulièrement des grains à un tas de sable situé sur un plateau circulaire.
Petit à petit, le tas grossit et sa pente augmente jusqu’au moment où l’ajout d’un grain supplémentaire provoque une avalanche effondrant partiellement le tas. On continue d’ajouter des grains jusqu’à la prochaine avalanche.

Il est pratiquement impossible de prédire si l’ajout d’un grain produira quelques éboulements ou bien une avalanche.

Vidéo d’une expérience avec du vrai sable :

« Criticalité auto-organisée » : késako ?

A partir de cet exemple, Bak dégage le concept de « criticalité auto-organisée » [1] pour décrire de façon unifiée les systèmes possédant un seuil de stabilité intrinsèque autour duquel ils tendent spontanément à se maintenir. Tant que l’on fournit de la matière, le système va évoluer de telle sorte qu’il se rapproche de son seuil de stabilité ; dès que ce seuil est dépassé, le système relaxe rapidement pour se retrouver dans un état provisoirement stable jusqu’à la prochaine « avalanche », à l’instar du tas de sable.

Dans son livre [Bak-1996], Bak développe hardiment ses idées pour les appliquer à de nombreux systèmes complexes comme, par exemple, les tremblements de terre, les embouteillages routiers, les krachs boursiers, les extinctions massives dans l’évolution des espèces, la percolation d’invasion, la géométrie des soudures, les décharges neuronales, les réseaux urbains, etc. Récemment, on a mis en évidence un comportement critique auto-organisé pour de grands groupes d’Étourneaux sansonnets. On peut consulter un article sur ce sujet ici et y visionner un film spectaculaire.

Le point clé de la criticalité auto-organisée est qu’une même perturbation (l’ajout d’un grain de sable par ex.) peut avoir des effets minimes (locaux) ou bien des effets à grande échelle. Plus précisément, la probabilité pour que des avalanches de grande taille ait lieu est suffisamment élevée pour que les avalanches n’aient pas de taille moyenne définie, c’est-à-dire, pas de taille caractéristique autour de laquelle les tailles d’avalanches fluctueraient de façon normale [2]. Mathématiquement, on parle de lois de puissance. De telles lois quantifient la présence de corrélations à très longue portée dans le système.

C’est en fait en physique statistique que de telles lois ont été d’abord observées : par exemple, un matériau ferromagnétique est aimanté à suffisamment basse température tandis qu’il perd son aimantation dès qu’une température critique est dépassée. C’est l’exemple emblématique de ce qu’on appelle une « transition de phase ». Quand la température vaut exactement la valeur critique, tous les éléments (« spins ») du matériau s’influencent mutuellement. Les physiciens parlent de « phénomènes critiques ».

Le ferromagnétisme qu’on observe dans la nature est un phénomène extrêmement compliqué à décrire mathématiquement. Les physiciens se sont donc résignés à introduire un modèle ultra-simplifié mais néanmoins capable de capturer l’essence de cette transition de phase. Il s’agit du modèle d’Ising [3] pour lequel on est effectivement capable de démontrer (en dimension deux) la criticalité pour la température critique.

En savoir plus sur la criticalité dans le modèle d’Ising

Nous allons brièvement évoquer le modèle d’Ising qui, bien qu’étant une caricature grossière, capture l’essence du ferromagnétisme : certains métaux ont une aimantation qui disparaît au dessus d’une certaine température, dite de Curie. Nous allons voir que la bifurcation entre la phase aimantée et la phase non aimantée se passe pour une température critique précise et qu’à cette température le système présente des propriétés surprenantes.

Décrivons-le très succinctement en dimension deux [4] : en chaque noeud d’une grille carrée de très grande taille (disons $10^{23}$ noeuds), on a une variable d’état qui est soit ’+’ et qui symbolise un « spin » orienté vers le haut, soit ’-’ et qui symbolise un spin orienté vers le bas.

Grille de 64 spins

Chaque spin n’interagit qu’avec ses plus proches voisins (il y en a donc 4). Lorsque la température est nulle (0 Kelvin), les spins sont tous identiques (soit tous ’+’ soit tous ’-’), il y a donc seulement deux configurations possibles qui, en fait, minimisent l’énergie du système. A l’opposé, lorsque la température est infinie, toutes les configurations de ’+’ et de ’-’ deviennent équiprobables et il y a donc un très grand nombre de configurations possibles. C’est comme si on tirait à Pile-ou-Face chaque spin, indépendamment des autres.

La question qui vient immédiatement à l’esprit est : que se passe-t-il pour les températures intermédiaires ? On pressent une compétition entre l’interaction qui favorise le regroupement des spins et l’« agitation thermique » qui a tendance à détruire ces regroupements. On peut observer numériquement et prouver mathématiquement qu’il y a en fait un phénomène remarquable : il existe une température critique $T_c$ [5] qui sépare une phase désordonnée de haute température ($T>T_c$) d’une phase ordonnée de basse température ($T < T_c$) dans laquelle de grands amas de spins ’+’ et de spins ’-’ sont présents. Cette dernière est caractérisée par une aimantation spontanée. Cette aimantation devient nulle quand $T>T_c$ car il y a statistiquement autant de spins ’+’ que de spins ’-’.

Au dessus de la température critique, une seule phase homogène (’+’ en vert, ’-’ en bleu)

À la température critique, le système « hésite »

Au dessous de la température critique, les phases ’+’ et ’-’ se séparent

Simulation du modèle de Ising sur youtube

On peut montrer que pour $T>T_c$, l’influence d’un spin sur un autre est exponentiellement petite comme fonction de leur distance de séparation. Cette loi permet de caractériser grossièrement la « longueur de corrélation » du système, c-à-d le rayon de la zone d’influence effective d’un spin. Cette échelle de longueur caractéristique dépend de la température et diverge quand on tend vers $T_c$. Quand on s’approche de $T_c$ en partant de températures plus petites que $T_c$, les amas de ’+’ et de ’-’ deviennent de plus en plus grands.
Mais que se passe-t-il quand la température est exactement égale à $T_c$ ? Une analyse numérique plus poussée et des mathématiques sophistiquées [6] montrent que des amas de toutes tailles apparaissent, ce que mathématiquement on formalise par une loi de puissance, sans échelle de longueur caractéristique : la corrélation entre deux spins, l’un au point $(0,0)$ l’autre au point $(n,n)$ (pour fixer les idées), se comporte comme $\frac{1} {n^{1/4} }$. Dit plus dramatiquement, le modèle d’Ising à la température critique est statistiquement invariant d’échelle.

Dans le cas du modèle d’Ising et de nombreux autres modèles de Physique Statistique, le point est qu’il faut un expérimentateur attentionné qui ajuste le bon paramètre à la bonne valeur pour mettre le système dans son état critique. Jusqu’au début des années 1980, on pensait que les phénomènes critiques étaient en effet des phénomènes qui n’apparaissent que dans des circonstances exceptionnelles, contrôlées par un paramètre extérieur.
Le but de Bak, Tang et Wiesenfeld dans leur article fondateur [BTW-1987] était de proposer le modèle le plus simple possible capable de se placer, sans paramètre d’ajustement, dans une phase critique [7].
C’est ce modèle, appelé « tas de sable abélien » [8] ou modèle de Bak-Tang-Wiesenfeld, que nous allons maintenant décrire et partiellement explorer.

Le modèle du tas de sable abélien

Mécanisme de base.
Imaginons un quadrillage de $3\times 3$ cases. Dans chaque case, nous pouvons empiler des « grains » avec une capacité maximale de trois grains. S’il y a quatre grains dans une case donnée, un éboulement se produit : la case se vide de ses quatre grains qui sont envoyés dans les quatre cases voisines, un par case.
Que se passe-t-il au bord ? Un des grains est définitivement perdu, ou deux s’il s’agit d’une case située dans l’un des coins.

Un exemple d’avalanche sur un quadrillage $5\times 5$.
Le lecteur se doute qu’un éboulement peut déclencher de nouveaux éboulements de proche en proche : une avalanche peut ainsi se produire. Le fait que des grains disparaissent quand l’avalanche atteint le bord du quadrillage (en supposant qu’elle y parvienne) assure que ce processus finisse par s’arrêter. On atteint ainsi une configuration stable dans le sens que chaque case contient au maximum trois grains.
Voici un exemple concret :

Une question se pose : quel rôle joue l’ordre dans lequel on procède aux éboulements ? En effet, à un instant donné, plusieurs cases peuvent être instables et il faut bien choisir un ordre dans lequel opérer les éboulements. On peut démontrer que la configuration finale ne dépend pas de l’ordre des éboulements : les éboulements « commutent » entre eux ! (C’est de là que vient le qualificatif « abélien » du modèle.)

Expérience Numérique Interactive

Mode d’emploi

Cliquez sur une case pour rajouter un grain.
Pour rajouter une "source" de grains, appuyez un court instant sur une case de la grille jusqu’à ce qu’elle apparaisse en vert. Puis appuyez sur "Activer les sources" pour lancer la simulation.
Clickez sur une source pour la supprimer.
Pour tester si une configuration est récurrente, cliquez sur "Test de combustion". La configuration est récurrente lorsque toutes les cases sont "brûlées" (apparaissent en rouge).

En cas de problème avec cette expérience, rechargez la page.

Expérience numérique interactive disponible sur experiences.math.cnrs.fr

Exemple de configuration remarquable.
Prenons un quadrillage d’environ $600\times 600$ cases [9] et plaçons deux grains dans chaque case. Voici la configuration stable qu’on obtient après l’ajout de $150 000$ grains au centre du quadrillage :

Nous verrons d’autres configuration remarquables dans la suite de l’article.

Le tas de sable abélien vu comme une chaîne de Markov

L’étude rigoureuse de ce modèle a été initiée par le physicien indien Deepak Dhar au début des années 1990.
On peut définir une dynamique markovienne à partir des deux mécanismes de base qui sont (1) l’ajout d’un grain dans une case (2) la relaxation vers une configuration stable. Pour cela, on part d’une configuration stable donnée, on choisit une case au hasard [10] et on y ajoute un grain : si la case contient quatre grains, on laisse le système se stabiliser, si elle en contient moins de quatre, rien ne se passe ; puis on réitère l’opération. On continue ainsi indéfiniment.

On a ainsi défini une chaîne de Markov, à temps discret, dont l’espace des états (fini) est l’ensemble des configurations stables sur le quadrillage $N \times N$, où $N$ est fixé.

Une fois la dynamique définie, on peut se demander s’il y a des configurations récurrentes : existe-t-il des configurations telles que, si on démarre avec l’une d’entre elles et qu’on fait évoluer le système, cette configuration va apparaître une infinité de fois dans le futur, avec une probabilité égale à un ? Lorsqu’une configuration n’est pas récurrente, on dit qu’elle est transiente.

On peut démontrer que l’ensemble des configurations récurrentes communiquent toutes entre elles : étant donné deux configurations récurrentes, partant de l’une on obtient l’autre au bout d’un temps fini, avec une probabilité positive ; et vice-versa [11].

Il y a une autre définition des configurations récurrentes, équivalente à la précédente, qui ne semble ne pas avoir de lien avec la dynamique markovienne : une configuration est récurrente si, quelle que soit la case qu’on choisit, l’addition répétée de grains dans cette case particulière finit par nous ramener à la configuration initiale. (Nous sous-entendons qu’entre chaque addition, nous laissons le système se stabiliser.) Le nombre d’itérations nécessaire dépend bien sûr de la case choisie.

Une dernière propriété des configurations récurrentes que nous voulons mentionner est qu’elles « attirent » toutes les configurations stables : une configuration transiente finit par se transformer en une configuration récurrente en choisissant n’importe quelle case et en y ajoutant suffisamment de grains. Autrement dit, la dynamique du système finit tôt ou tard par se concentrer sur l’ensemble des configurations récurrentes.

L’algorithme de « combustion » ou comment tester si une configuration est récurrente

Il semble a priori difficile de déterminer si une configuration est récurrente ou non. Mais D. Dhar a trouvé un algorithme simple pour le déterminer. Cet algorithme équivaut à tester si la configuration donnée contient des sous-configurations dites « interdites ». Le lecteur peut deviner qu’il existe en effet des sous-configurations qui ne vont jamais être créées par additions de grains et relaxations, à moins qu’elles ne soient présentes dans la configuration initiale. Voici quelques exemples :

Exemples de sous-configurations impossibles dans une configuration récurrente

Il est possible de démontrer qu’une configuration est récurrente si et seulement si elle ne contient aucune configuration interdite.

L’algorithme de combustion est le suivant :
On choisit arbitrairement une case qu’on « brûle » si le nombre de grains qu’elle contient est supérieur ou égal au nombre de ses voisins non brûlés.
Une case qui se trouve dans un coin a deux voisins. Une case qui se trouve au bord mais pas dans un coin en a trois et une case qui n’est pas sur le bord en a quatre.
On peut commencer par tester les cases du bord puis continuer récursivement vers le centre du quadrillage.

Exemple de test de combustion

Exemples de configurations récurrentes

On peut démontrer qu’une configuration est récurrente si et seulement si on peut brûler toutes les cases.
La simulation ci-dessus permet d’appliquer l’algorithme de combustion.
Demandez d’afficher le test de combustion, et essayez de trouver une configuration récurrente. Quand une case peut être "brulée" elle apparaît en vert. Commencez par une grille 3x3, puis augmentez la taille de la grille.

Additionner des configurations récurrentes définit un groupe abélien

On peut empiler deux configurations stables en ajoutant case à case le nombre de grains. Bien sûr, des avalanches sont à prévoir, donc l’opération d’addition qu’on veut définir comporte la phase de relaxation vers une configuration stable. Notons $\oplus$ cette opération. Comme le lecteur peut s’en douter, l’ensemble des configurations récurrentes est le bon ensemble de configurations sur lequel définir $\oplus$ [12]. Qui dit groupe, dit élément identité, c-à-d une configuration particulière qui, ajoutée à toute configuration récurrente au sens de $\oplus$, laisse la configuration invariable.
La question qui se pose immédiatement est la suivante :

Comment calculer l’identité du groupe ?

Un peu de travail montre qu’on peut l’obtenir avec l’algorithme suivant : on part du quadrillage sans aucun grain puis on ajoute un grain dans chaque case qui se trouve sur le bord, excepté les quatre cases qui forment les coins auxquelles on ajoute deux grains.
On continue d’ajouter cette configuration spéciale (en laissant bien sûr le système relaxer entre chaque addition) jusqu’à ce qu’on obtienne une configuration qui n’évolue plus. Voici ce que l’on obtient avec la simulation ci-dessus pour différentes tailles du quadrillage :

Identité du groupe pour différentes tailles du quadrillage

Quelques résultats mathématiques et problèmes ouverts

Notre but est de donner au lecteur une idée des questions que se posent les mathématiciens sur ce modèle. Nombreuses sont celles
qui demeurent complètement ouvertes à ce jour, certaines pouvant sembler très basiques. Nous n’en mentionnons qu’un petit échantillon.

Avant de les aborder, observons qu’il y a deux paramètres dans le modèle :
la taille du quadrillage et sa dimension.
Nous avons décrit le modèle en dimension deux, sur un réseau carré identifié à $\mathbb{Z}^2$ [13], mais il est possible de le formuler en dimension $d$ quelconque, c’est-à-dire sur le réseau hypercubique $\mathbb{Z}^d$.

Faire tendre la taille du réseau vers l’infini, c-à-d considérer le système en volume infini, est une démarche naturelle pour le mathématicien et le physicien théoricien qui veulent se débarrasser des « effets de bord ». En effet, l’étendue d’une avalanche va être limitée par le bord du système. C’est donc seulement en volume infini que chercher à démontrer une distribution de la taille des avalanches en loi de puissance a un sens.

Loi de probabilité stationnaire en volume infini et criticalité

Il y a une loi de probabilité très simple dont le support est l’ensemble des configurations récurrentes : celle qui donne un poids identique à chaque case, indépendamment du nombre de grains qu’elle contient [14]. Cette loi de probabilité est en fait l’unique mesure de probabilité stationnaire pour le système [15]. Notons-la $\mu_N$ puisqu’elle dépend de la taille du système (dont le volume est $N^d$). On peut démontrer que si $N\to\infty$, $\mu_N$ tend vers une mesure de probabilité $\mu$, ce qui donne un sens à l’expression « tirer une configuration infinie selon $\mu$ ».

Pour $d=2$, on peut par exemple calculer exactement la probabilité qu’une configuration contienne un seul grain dans la case $(0,0)$ : elle vaut $\frac{2}{\pi^2}\big(1-\frac{2}{\pi}\big)$.

On sait également démontrer que certaines fonctions de corrélations suivent des lois de puissance, mais seulement lorsque $d\geq 3$
 [16]. Il y a donc des corrélations à longue portée dans le système. Le cas $d=2$ n’a pas été mathématiquement traité à ce jour.

Une question naturelle concerne la finitude des avalanches. Prenons une configuration typique du système, en volume infini, et ajoutons un grain à l’origine. Une avalanche peut se produire. Si elle se produit, est-elle de taille finie ? A l’heure actuelle, on sait démontrer qu’une avalanche est finie avec probabilité un mais seulement lorsque $d\geq 3$. Le cas $d=2$ reste ouvert.

Une question plus précise concernant les avalanches est la distribution de leurs rayons. Les simulations numériques montrent que cette distribution suit une loi de puissance. Le seul résultat qui va dans ce sens se trouve dans un article récent [Jarai-Redig-Saada-2011] : si $d\geq 3$, la probabilité en volume infini qu’une avalanche ait un rayon plus grand que $r$ est comprise entre $c_1/r^d$ et $c_2/r^{d-2}$, où $c_1,c_2$ sont deux constantes positives. Rien n’est démontré à ce jour pour $d=2$.

Forme limite et fractalité

On peut observer que si on dépose $M$ grains au centre d’une configuration initiale homogène, la configuration finale sera sur un quadrillage de $N\times N$ cases, avec $N$ proportionnel à $\sqrt{ M } $ sans qu’aucun grain ne soit perdu à cause du bord.
Si nous voulons ajouter $1000$ grains, il faudra donc un quadrillage d’environ $30\times 30$ cases. Si nous voulons ajouter $10 000$ grains, un quadrillage d’environ $100\times 100$ cases sera nécessaire. Et ainsi de suite.
Si on divise à chaque fois le côté du quadrillage par la racine carrée du nombre de grains qu’on a ajoutés, cela revient à garder la taille du système constante et à prendre des cases de plus en plus petites qui vont devenir quasiment des points lorsque le nombre de grains ajoutés est très grand. La question est : obtient-on une forme limite par ce processus ? Voici par exemple ce qui se passe si on part de la configuration homogène avec $0$ grain par case et qu’on ajoute de plus en plus de grains :

Configurations obtenues après l’ajout de 1000, 10 000, 100 000 et 1 000 000 grains à l’origine

Configuration obtenue après l’ajout d’environ 1 milliard de grains à l’origine.

Il semble qu’une forme limite émerge et qu’elle soit fractale.
A l’heure actuelle, personne n’est en mesure de démontrer quoi que ce soit dans ce sens, à part l’existence de la limite dont l’énoncé est trop technique pour être donné ici. Le lecteur peut consulter l’article [Pegden-Smart-2012].

Mentionnons enfin que le modèle du tas de sable abélien peut être défini sur d’autres graphes que $\mathbb{Z}^2$. On peut par exemple prendre un réseau triangulaire [17]. En fait, le modèle peut être défini sur un graphe connexe arbitraire dans lequel un sommet est considéré comme un « puits », à savoir que tout grain qui arrive sur ce sommet disparaît du système.

Bibliographie (commentée)

[Bak-1996]
P. Bak. Quand la nature s’organise ; avalanches, tremblements de terre et autres cataclysmes. Flamarion, 1999.
Trad. de "How Nature Works : The Science of Self-Organized Criticality". New York : Copernicus (1996).
Livre grand public stimulant.

[BTW-1987]
P. Bak, C. Tang and K. Wiesenfeld. Self-organized criticality : an explanation of 1/ƒ noise. Physical Review Letters 59 (1987) 381-384.
Disponible librement ici.
C’est l’article où le modèle présenté dans cet article a été introduit.

[Dhar-2006]
D. Dhar. Theoretical studies of self-organized criticality. Physica A : Statistical Mechanics and its Applications, 369 (2006) p. 29-70.
Disponible librement ici
C’est un article de synthèse qui présente divers modèles de criticalité auto-organisée, notamment le tas de sable abélien. L’auteur est le premier à l’avoir étudié rigoureusement. Il a eu de nombreuses idées fondamentales pour la suite.

[Jarai-Redig-Saada-2011]
A. Jarai, F. Redig, E. Saada. Zero dissipation limit in the abelian avalanche model.
Disponible ici.
Article de recherche, le premier à démontrer des bornes compatibles avec une loi de puissance pour la distribution de la taille des avalanches en dimension trois et plus.

[Pegden-Smart-2012]
W. Pegden, C. Smart. Convergence of the Abelian sandpile (2012).
Disponible ici.
Article de recherche.

[Redig-2006]
F. Redig. Mathematical aspects of the abelian sandpile model. Mathematical statistical physics, 657–729,
Elsevier (2006).
Disponible librement ici.
Article de synthèse qui donne l’état de l’art en 2006. Il contient les
preuves détaillées de tous les résultats de base mentionnés dans notre article.

[Sornette-2004]
D. Sornette. Critical Phenomena in Natural Sciences. Springer (2004).
Ce livre est remarquable par le panorama qu’il offre. Il ne s’agit pas d’un livre de mathématique mais de physique théorique.